Software Matemáticos

Aqui estão listados alguns dos melhores softwares Matemáticos, que consideramos úteis  para o ensino e aprendizagem da matemática.
Todos os programas listados abaixo são ou de domínio público ou são versões demo,  disponibilizadas por seus criadores. Informações adicionaissobre os programas estão disponíveis nos sites dos criadores. Nosso blogvisa, apenas, a divulgação para fins didáticos e procura facilitar o acesso aos programas.

Poly 

Licença: shareware
Tradução: Disponível só em inglês
Sistema:Windows 98/Me/2000/XP
Tamanho: 646 KB

É uma criação Pedagoguery Software, que permite a investigação de sólidos tridimensionalmente com possibilidade de movimento, dimensionalmente planificação e de vista topológica. Possui uma grande coleção de sólidos, platônicos e arquimedianos entre outros.

MuPad 
Licença: Gratuito
Tradução:Disponível em português do Brasil
Sistema:Windows 98/Me/2000/XP
Tamanho: 

O MuPad é um software de computação algébrica de propósito geral. Permite resolver equações, sistemas de equações, inequações, operar com matrizes, calcular determinantes, trabalhar com polinômios, promover simplificações e desenvolvimento de expressões, calcular limites, derivadas, integrais e diversas outras coisas. Além disso, traça gráficos em 2D e 3D.

Super logo  

Licença: Gratuito
Tradução:Disponível em português do Brasil
Sistema:Windows 98/Me/2000/XP
Tamanho: 

O SuperLogo não possui objetivo delimitado, podendo ser utilizado em diferentes atividades, envolvendo diferentes disciplinas, em diferentes níveis de ensino. Nosso foco, no entanto, é a Matemática do Ensino Médio. Neste contexto, o programa pode ser utilizado no trabalho com Geometria Plana, além de contribuir para o desenvolvimento do raciocínio lógico e possibilitar a aquisição de noções de programação.

Winplot 

Licença: Gratuito
Tradução: Disponível em português do Brasil
Sistema: Windows 95/98/Me/2000/XP
Tamanho: 740Kb

WinPlot é um programa para gerar gráficos de 2D e 3D a partir de funções ou equações matemáticas. Você obtém resultados rápidos, diretos e excelentes. Os menus do sistema são simples, sendo que existe uma opção de Ajuda em todas as partes. Aceita funções matemáticas de modo natural.

Geogebra 

Licença: Gratuito
Tradução: Disponível em português do Brasil
Sistema: Windows 98/Me/2000/XP
Tamanho: 

GeoGebra é um software de matemática dinâmica para utilizar em ambiente de sala de aula,  que reúne GEOmetria, álGEBRA e cálculo. Recebeu muitos prémios internacionais incluindo o prémio software educacional Alemão e Europeu.

Utilização da Matemática para se descobrir informação relativa à idade das pessoas

Muitos são os casos de recreação matemática em que um qualquer interlocutor nosso, mais entusiasmado com questões de magia matemática, nos tenta colocar em situação de ele próprio descobrir um eventual número que estejamos a pensar. Conduzindo-nos por caminhos matematicamente bem experimentados, por norma costuma acertar na sua previsão, o que nos deixa com a curiosidade aguçada para percebermos como foi capaz de tão enigmática descoberta.

Os exemplos que trago para partilhar com os leitores prendem-se com a tentativa de descoberta de dados relativos à idade das pessoas.

1 - O primeiro exemplo pode ser o de alguém que tenha nascido a 12 de Agosto. Vamos, então, ver como poderemos facilmente descobrir esta data, munindo-nos, para tal, de uma simples máquina de calcular. Façamos as seguintes solicitações ao nosso interlocutor:

- escreva o dia do seu nascimento;

- duplique este número, isto é, multiplique-o por dois;

- multiplique o valor agora obtido por dez;

- adicione setenta e três unidades ao novo produto obtido;   

- multiplique este novo valor por cinco;

- adicione, por fim, o número relativo ao mês de nascimento. Que valor obteve?

Perante estas solicitações, o nosso interlocutor, se tivesse nascido no dia 12 de Agosto responderia no final o valor 1573.

Vejamos, agora, como é que a Matemática nos pode auxiliar a descobrir esta data de aniversário. A tabela seguinte evidencia o procedimento algébrico associado a cada passo da resolução da tarefa:

  

Passos seguidos:	Notação matemática:
- escrever o dia de nascimento	d
- duplicar este número	2d
- multiplicar o valor agora obtido por dez	10 x 2d
- adicionar setenta e três unidades ao novo produto obtido	10 x 2d + 73
- multiplicar este novo valor por cinco	5 x (10 x 2d + 73)
- adicionar, por fim, o número relativo ao mês de nascimento	5 x (10 x 2d + 73) + m

  

Façamos, agora a respectiva interpretação algorítmica:

5 x (10 x 2d + 73) + m =
= 5 x (20d + 73) + m =
= 100d + 365 + m

Sabendo nós que o procedimento aritmético do nosso interlocutor resulta sempre nesta expressão algébrica, a única coisa que teremos de fazer é subtrair a quantidade 365 ao valor revelado por ele. Repare-se que a fórmula fica com o seguinte aspecto: 100d + 365 + m – 365 = 100d + m

Esta fórmula permite concluir que, subtraindo o valor 365 ao valor revelado pelo nosso interlocutor, obtém-se nas ordens das unidades de milhar e das centenas o valor do dia de nascimento, restando nas ordens das dezenas e das unidades o valor do mês respectivo.
 
No caso de o valor ser 1573, então o resultado final será: 1573 – 365 = 1208. Logo, terá nascido no dia doze de Agosto.
 

2 - Vejamos, agora, como é fácil descobrir a idade de uma pessoa. O exemplo pode ser de alguém que tenha 51 anos. Eis o que teremos de solicitar ao nosso interlocutor:

 
- multiplicar a idade por dois;
 - adicionar cinco unidades ao produto obtido;
 - multiplicar o resultado obtido por cinquenta;
 - subtrair o valor trezentos e sessenta e cinco ao valor agora obtido;
 - adicionar cento e quinze unidades e revelar o valor final.

 Analisemos o procedimento algébrico:

Passos seguidos:	Notação matemática:
- multiplicar a idade por dois	2i
- adicionar cinco unidades ao produto obtido	2i + 5
- multiplicar o resultado obtido por cinquenta	50 x (2i + 5)
- subtrair o valor trezentos e sessenta e cinco ao valor agora obtido	50 x (2i + 5) - 365
- adicionar cento e quinze unidades e revelar o valor final	50 x (2i + 5) – 365 + 115

Eis a respectiva Interpretação algorítmica:

50 x (2i + 5) – 365 + 115 =

= 100i + 250 – 250 =

= 100i

Ora, no exemplo considerado de alguém com 51 anos, dar-nos-ia como resposta o valor 5100. Tal como no caso anterior, esta fórmula permite concluir que, conhecendo-se o valor final obtido pelo nosso interlocutor, nas ordens das unidades de milhar e das centenas, encontra-se logo a sua idade.

3 - Um terceiro exemplo permite não só descobrir o dia e o mês de aniversário, como também o ano de nascimento. Eis o que pedir ao nosso interlocutor:

- escrever o número relativo ao mês de nascimento;

- multiplicar este valor por quatro;

- adicionar treze unidades ao valor agora obtido;

- multiplicar por vinte e cinco a soma obtida;

- subtrair o valor duzentos;

- adicionar o dia de nascimento;

- multiplicar a soma agora obtida por dois;

- subtrair o valor quarenta;

- multiplicar este último valor obtido por cinquenta;

- adicionar os últimos dois dígitos do ano de nascimento e revelar o valor  obtido.

Qual será a exlicação matemática e o que é que teremos de fazer no final para descobrirmos a data de nascimento do nosso interlocutor?

UM ESTRANHO NÚMERO PRIMO

O número primo 73939133 tem uma propriedade muito estranha. Se você remover os dígitos do final, os números obtidos também são primos. Observe:
73939133 é um número primo
7393913 é um número primo
739391 é um número primo
73939 é um número primo
7393 é um número primo
739 é um número primo
73 é um número primo
7 é um número primo

MATEMÁTICA NO CINEMA

Vários filmes trazem a Matemática como temática. Seguem alguns deles:
• Quebrando a banca” (EUA, 2008), de Robert Luketic.
• "A Prova" (EUA, 2005), de John Madden.
• "Uma Mente Brilhante" (EUA, 2005), de Ron Howard.
• “Enigma” (EUA, 2001), de Michael Apted.
• “Pi” (EUA, 1988), de Darren Aronofsky.
• “Gênio Indomável” (EUA, 1997), de Gus Van Sant.
• “Cubo” (Canadá, 1997), de Vincenzo Natali.

Figuras mágicas e tarefas de investigação matemática

 

O tema das figuras mágicas já foi por diversas vezes objecto de reflexão neste blog. Contudo, como o mesmo suscita a possibilidade de haver diversificadas explorações, desta vez associá-lo-ei a tarefas de investigação.

O objectivo é o de se substituir cada uma das letras da figura seguinte por um número diferente, de 1 a 9, inclusive, de modo a que a soma proveniente de "a + b + c + d + e" seja igual à soma proveniente de "e + f + g + h + i". Como proceder? Haverá mais do que uma solução?

 

Em termos de recreação matemática, esta tarefa poderia ser resolvida através da estratégia da tentativa e erro. Contudo, como tarefa de investigação, e ao nível da sala de aula, seria desejável que a mesma levasse os alunos a um raciocínio mais estruturado.

Ora vejamos, o que é solicitado é o seguinte: a + b + c + d + e = e + f + g + h  + i. Haverá, pois, um número que se irá repetir, uma vez que aparece em ambas as adições.

Sabe-se, por outro lado, que se não houvesse repetição dessa parcela, a soma dos nove números seria: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45. Dado que haverá um valor a repetir-se, e não se sabendo qual, há que se investigar todas as possibilidades. Assim, a tabela seguinte visa sistematizar o caso de o valor a repetir ser o 1:

Valor a repetir	Soma final	Somas parcelares
1	46	9 + 8 + 3 + 2 + 1 = 23 7 + 6 + 5 + 4 + 1 = 23 9 + 7 + 4 + 2 + 1 = 23 8 + 6 + 5 + 3 + 1 = 23 9 + 6 + 5 + 2 + 1 = 23 8 + 7 + 4 + 3 + 1 = 23 9 + 6 + 4 + 3 + 1 = 23 8 + 7 + 5 + 2 + 1 = 23

Resultante deste trabalho de sistematização, conclui-se que poderão haver quatro casos em que o valor a repetir é o 1:

Estudemos, de seguida, o caso de o valor a repetir-se ser o 2. A soma final seria 47. Como se trata de um valor ímpar, não possibilita a divisão em duas somas parcelares de igual valor inteiro. Logo, conclui-se que o valor 2 não poderá ocupar o espaço da letra "e".

Passemos, pois, para o valor 3. Tal como para o caso do valor 1, a tabela seguinte sistematiza o estudo deste novo caso:

Valor a repetir	Soma final	Somas parcelares
3	48	9 + 7 + 3 + 4 + 1 = 24 8 + 6 + 5 + 2 + 3 = 24 9 + 6 + 3 + 5 + 1 = 24 8 + 7 + 4 + 2 + 3 = 24 9 + 6 + 3 + 4 + 2 = 24 8 + 7 + 5 + 1 + 3 = 24

Eis os três casos possíveis, em que o valor a repetir é o 3:

Para o caso do valor a repetir-se ser o 4, a soma total seria 49, pelo que ao ser um número ímpar, também não permitiria a obtenção de duas somas parcelares de igual valor numérico inteiro. Logo, conclui-se que o espaço ocupado pela letra "e" também não poderia ser utilizado pelo valor 4.

Já para o valor 5, se fosse este a repetir-se, a soma final seria 50. Vejamos a tabela correspondente ao estudo deste novo caso:

Valor a repetir	Soma final	Somas parcelares
5	50	9 + 8 + 5 + 2 + 1 = 25 7 + 6 + 4 + 3 + 5 = 25 9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25 8 + 6 + 4 + 2 + 5 = 25 9 + 6 + 5 + 3 + 2 = 25 8 + 7 + 4 + 1 + 5 = 25

Eis os três casos possíveis:

Já evidenciei, pois, 10 casos de sucesso para esta tarefa de investigação. Haverá mais para os casos de serem o valor 7 ou o valor 9 a repetir-se? Tente fazer um estudo semelhante aos acabados de fazer para os casos dos valores 1, 3 e 5.

Imaginemos agora um novo desafio, que consiste em investigar se é possível que a soma resultante de "a + b + c + d + e" seja o dobro da soma resultante de "e + f + g + h + i". Quantos casos de sucesso haverá?

Ora, este novo desafio obriga a que tenhamos em conta todas as somas finais possíveis de obter em função do valor que se vai repetir.

Valor a repetir	Soma final
1	46
2	47
3	48
4	49
5	50
6	51
7	52
8	53
9	54

De seguida importa ver quais as somas finais que são multiplas do 3. Há três casos: 48, 51 e 54. Logo, os valores a repetir-se podem ser, respectivamente, o 3, o 6 e o 9.

Estudemos, a título de exemplo, o valor 3. A soma final que lhe corresponde é 48, pelo que permite três grupos de valor 16. Juntando dois deles fica-se com um valor que é duplo do terceiro (32 e 16).

Vejamos a tabela respectiva:

Valor a repetir	Soma final	Somas parcelares
3	48	9 + 8 + 3 + 7 + 5 = 32 6 + 4 + 2 + 1 + 3 = 16

Eis a figura respectiva:

Faça um estudo semelhante para as restantes somas, isto é, para a soma 51 e para a soma 54, associadas, respectivamente, à duplicação do 6 e do 9.

Os quebra-cabeças e a matemática

Em Matemática Recreativa existem muitas situações rotuladas como sendo verdadeiros quebra-cabeças. Por norma são situações que aparentemente não têm uma resolução imediata e exigem a procura de um caminho. Para estes casos, o conhecimento de várias estratégias de resolução, como sejam a procura de um padrão ou regularidade, a elaboração de um esquema ou figura, a decomposição do problema em problemas mais simples, a tentativa e erro, a resolução do fim para o princípio, entre outras, poderá ser muito útil na hora de se atacar o desafio colocado. O exemplo seguinte transporta-nos para uma situação deste tipo:

Dividir o mostrador do relógio seguinte em seis partes iguais, de igual valor numérico, não ficando nenhum número excluído:

 

Por tentativa e erro, este desafio poderá ser resolvido com sucesso. Contudo, em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos procurassem resolvê-lo através de uma estratégia de resolução mais sistematizada. De fato, uma possível estratégia poderia passar pela divisão do total numérico existente no mostrador pela quantidade seis, por ser o número de partes em que se pretende dividir esse total. Ora 78 a dividir por 6 dá 13. Agora só teremos que encontrar seis conjuntos de números cuja soma seja treze, não deixando nenhum de fora:

 Tendo em conta esta estratégia, seria interessante dividir este mesmo mostrador em apenas três partes de igual valor numérico, sem exclusão de qualquer dos seus valores.