Figuras mágicas e tarefas de investigação matemática

 

O tema das figuras mágicas já foi por diversas vezes objecto de reflexão neste blog. Contudo, como o mesmo suscita a possibilidade de haver diversificadas explorações, desta vez associá-lo-ei a tarefas de investigação.

O objectivo é o de se substituir cada uma das letras da figura seguinte por um número diferente, de 1 a 9, inclusive, de modo a que a soma proveniente de "a + b + c + d + e" seja igual à soma proveniente de "e + f + g + h + i". Como proceder? Haverá mais do que uma solução?

 

Em termos de recreação matemática, esta tarefa poderia ser resolvida através da estratégia da tentativa e erro. Contudo, como tarefa de investigação, e ao nível da sala de aula, seria desejável que a mesma levasse os alunos a um raciocínio mais estruturado.

Ora vejamos, o que é solicitado é o seguinte: a + b + c + d + e = e + f + g + h  + i. Haverá, pois, um número que se irá repetir, uma vez que aparece em ambas as adições.

Sabe-se, por outro lado, que se não houvesse repetição dessa parcela, a soma dos nove números seria: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45. Dado que haverá um valor a repetir-se, e não se sabendo qual, há que se investigar todas as possibilidades. Assim, a tabela seguinte visa sistematizar o caso de o valor a repetir ser o 1:

Valor a repetir	Soma final	Somas parcelares
1	46	9 + 8 + 3 + 2 + 1 = 23 7 + 6 + 5 + 4 + 1 = 23 9 + 7 + 4 + 2 + 1 = 23 8 + 6 + 5 + 3 + 1 = 23 9 + 6 + 5 + 2 + 1 = 23 8 + 7 + 4 + 3 + 1 = 23 9 + 6 + 4 + 3 + 1 = 23 8 + 7 + 5 + 2 + 1 = 23

Resultante deste trabalho de sistematização, conclui-se que poderão haver quatro casos em que o valor a repetir é o 1:

Estudemos, de seguida, o caso de o valor a repetir-se ser o 2. A soma final seria 47. Como se trata de um valor ímpar, não possibilita a divisão em duas somas parcelares de igual valor inteiro. Logo, conclui-se que o valor 2 não poderá ocupar o espaço da letra "e".

Passemos, pois, para o valor 3. Tal como para o caso do valor 1, a tabela seguinte sistematiza o estudo deste novo caso:

Valor a repetir	Soma final	Somas parcelares
3	48	9 + 7 + 3 + 4 + 1 = 24 8 + 6 + 5 + 2 + 3 = 24 9 + 6 + 3 + 5 + 1 = 24 8 + 7 + 4 + 2 + 3 = 24 9 + 6 + 3 + 4 + 2 = 24 8 + 7 + 5 + 1 + 3 = 24

Eis os três casos possíveis, em que o valor a repetir é o 3:

Para o caso do valor a repetir-se ser o 4, a soma total seria 49, pelo que ao ser um número ímpar, também não permitiria a obtenção de duas somas parcelares de igual valor numérico inteiro. Logo, conclui-se que o espaço ocupado pela letra "e" também não poderia ser utilizado pelo valor 4.

Já para o valor 5, se fosse este a repetir-se, a soma final seria 50. Vejamos a tabela correspondente ao estudo deste novo caso:

Valor a repetir	Soma final	Somas parcelares
5	50	9 + 8 + 5 + 2 + 1 = 25 7 + 6 + 4 + 3 + 5 = 25 9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25 8 + 6 + 4 + 2 + 5 = 25 9 + 6 + 5 + 3 + 2 = 25 8 + 7 + 4 + 1 + 5 = 25

Eis os três casos possíveis:

Já evidenciei, pois, 10 casos de sucesso para esta tarefa de investigação. Haverá mais para os casos de serem o valor 7 ou o valor 9 a repetir-se? Tente fazer um estudo semelhante aos acabados de fazer para os casos dos valores 1, 3 e 5.

Imaginemos agora um novo desafio, que consiste em investigar se é possível que a soma resultante de "a + b + c + d + e" seja o dobro da soma resultante de "e + f + g + h + i". Quantos casos de sucesso haverá?

Ora, este novo desafio obriga a que tenhamos em conta todas as somas finais possíveis de obter em função do valor que se vai repetir.

Valor a repetir	Soma final
1	46
2	47
3	48
4	49
5	50
6	51
7	52
8	53
9	54

De seguida importa ver quais as somas finais que são multiplas do 3. Há três casos: 48, 51 e 54. Logo, os valores a repetir-se podem ser, respectivamente, o 3, o 6 e o 9.

Estudemos, a título de exemplo, o valor 3. A soma final que lhe corresponde é 48, pelo que permite três grupos de valor 16. Juntando dois deles fica-se com um valor que é duplo do terceiro (32 e 16).

Vejamos a tabela respectiva:

Valor a repetir	Soma final	Somas parcelares
3	48	9 + 8 + 3 + 7 + 5 = 32 6 + 4 + 2 + 1 + 3 = 16

Eis a figura respectiva:

Faça um estudo semelhante para as restantes somas, isto é, para a soma 51 e para a soma 54, associadas, respectivamente, à duplicação do 6 e do 9.

Os quebra-cabeças e a matemática

Em Matemática Recreativa existem muitas situações rotuladas como sendo verdadeiros quebra-cabeças. Por norma são situações que aparentemente não têm uma resolução imediata e exigem a procura de um caminho. Para estes casos, o conhecimento de várias estratégias de resolução, como sejam a procura de um padrão ou regularidade, a elaboração de um esquema ou figura, a decomposição do problema em problemas mais simples, a tentativa e erro, a resolução do fim para o princípio, entre outras, poderá ser muito útil na hora de se atacar o desafio colocado. O exemplo seguinte transporta-nos para uma situação deste tipo:

Dividir o mostrador do relógio seguinte em seis partes iguais, de igual valor numérico, não ficando nenhum número excluído:

 

Por tentativa e erro, este desafio poderá ser resolvido com sucesso. Contudo, em contexto de sala de aula seria interessante que os alunos procurassem resolvê-lo através de uma estratégia de resolução mais sistematizada. De fato, uma possível estratégia poderia passar pela divisão do total numérico existente no mostrador pela quantidade seis, por ser o número de partes em que se pretende dividir esse total. Ora 78 a dividir por 6 dá 13. Agora só teremos que encontrar seis conjuntos de números cuja soma seja treze, não deixando nenhum de fora:

 Tendo em conta esta estratégia, seria interessante dividir este mesmo mostrador em apenas três partes de igual valor numérico, sem exclusão de qualquer dos seus valores.